Matryca logiczna
W tym materiale dodatkowym dowiesz się, jak używać matrycy logicznej. Jest ona niezmiernie przydatna przy rozwiązywaniu różnych problemów.
Matryca logiczna w rozwiązywaniu prostych zadań ma praktycznie zawsze postać tabeli o równej ilości wierszy i kolumn. Zadanie polega na dopasowaniu jednej kolumny do jednego wiersza i eliminacji pozostałych możliwości. Przy bardziej skomplikowanych zadaniach matryca może przybierać inne formy, czasami zdarza się, że trzeba korzystać z kilku matryc w tym samym czasie i zmiany w jednej odzwierciedlać w innej itp.
W dziale Rozrywka znajduje się takie oto proste zadanie:
Mamy sześć zmiennych: a, b, c, d, e i f. Każda z nich przyjmuje inną, całkowitą wartość z przedziału od 1 do 6. Jeżeli prawdą jest, że:
a ≠ 5 ∧ a ≠ 6 ∧ b < a ∧ b > d ∧ e = 4 ∧ c > f
to ile równa jest każda z nich?
Dla niewtajemniczonych wyjaśniam, że symbol ∧ oznacza w matematyce tyle, co i.
Na podstawie tego zadania przedstawimy ideę działania matrycy logicznej.
Na początek sporządzamy stosowną tabelę. Ponieważ jest sześć zmiennych i sześć wartości wykonujemy taką tabelę (6x6):
| a | b | c | d | e | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 |
W kratki możemy wstawiać wartości logiczne 0 lub 1, albo jak ktoś woli znaczki x i v. Ważne żeby było wiadomo, o co chodzi. Nanosimy informacje wskazane w zadaniu:
| a | b | c | d | e | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | v | |||||
| 5 | x | |||||
| 6 | x |
Następnie wykluczamy możliwości, które nie podlegają warunkom zadania (skoro e równa się 4, to nie równa się ani 1, ani 2, ani 3 itd... to samo w drugą stronę - skoro 4 to e, więc ani a nie jest równe 4, ani b, c itd.):
| a | b | c | d | e | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | x | |||||
| 2 | x | |||||
| 3 | x | |||||
| 4 | x | x | x | x | v | x |
| 5 | x | x | ||||
| 6 | x | x |
Skoro c > f, to c nie może równać się 1, bo f nie mogłoby być mniejsze. Tym samym f nie może być równe 6, bo c nie będzie mogło być większe. To samo tyczy się informacji b > d i b < a. Matryca przybiera postać:
| a | b | c | d | e | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | x | x | x | x | ||
| 2 | x | |||||
| 3 | x | |||||
| 4 | x | x | x | x | v | x |
| 5 | x | x | ||||
| 6 | x | x | x | x | x |
Widać automatycznie, że c = 6. Tym samym stawiamy odpowiednio znaczniki:
| a | b | c | d | e | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | x | x | x | x | ||
| 2 | x | x | ||||
| 3 | x | x | ||||
| 4 | x | x | x | x | v | x |
| 5 | x | x | x | |||
| 6 | x | x | v | x | x | x |
Jeśli b > d to d < b, czyli mamy tylko jedno miejsce, gdzie możemy umieścić znaczki v. Dodatkowo uzupełniamy odpowiednio znaczniki x.
| a | b | c | d | e | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | x | x | x | x | ||
| 2 | x | v | x | x | x | x |
| 3 | v | x | x | x | x | x |
| 4 | x | x | x | x | v | x |
| 5 | x | x | x | x | ||
| 6 | x | x | v | x | x | x |
Informacja, że c > f nic nam nie daje, ale wiemy również, że b > d, co pozwala nam postawić końcowe znaczniki:
| a | b | c | d | e | f | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | x | x | x | v | x | x |
| 2 | x | v | x | x | x | x |
| 3 | v | x | x | x | x | x |
| 4 | x | x | x | x | v | x |
| 5 | x | x | x | x | x | v |
| 6 | x | x | v | x | x | x |
Uzyskujemy teraz odpowiedź na postawione pytanie:
a = 3, b = 2, c = 6, d = 1, e = 4, f = 5
W analogiczny sposób można rozwiązać prawie wszystkie zadania z działu Rozrywka.
